COLOMBIA


Diseñar tareas: oportunidad para construir conocimiento sobre argumentación matemática y estrategia en la formación de profesores En el marco de un ciclo investigativo, iniciado en 2020 y actualmente en desarrollo, nos enfocamos en la práctica de diseñar tareas de formación profesional que apuntan a que nuestros alumnos (estudiantes para profesor de matemática) aprendan sobre argumentación matemática. Nuestra vivencia nos permitió notar la oportunidad que dicha práctica nos abrió para lograr una claridad conceptual sobre objetos que queríamos involucrar en los procesos formativos: argumento, argumentación, tarea, tarea de argumentación, elementos claves para considerar durante el diseño de este tipo de tareas, etc. En esta ponencia presentamos ejemplos de tareas de formación profesional y las razones de la necesidad de una especialización conceptual que soporte su diseño. Así mismo, con base en nuestra vivencia, sugerimos que dicha práctica puede ser una estrategia para que los estudiantes para profesor hagan ostensivo su conocimiento o construyan conocimiento especializado de un determinado contenido o proceso matemático (e.g. argumento). Molina, Ó., Perry, P., Camargo, L. Samper, C. (2022). Diseñar tareas: oportunidad para construir conocimiento sobre argumentación matemática y estrategia en la formación de profesores [Ponencia]. Semana de investigación CIUP-UPN 2022, Bogotá, Colombia.
¿Espacio para la geometría del espacio y proyección de la geometría proyectiva en la matemática escolar? Los currículos implementados de matemáticas a nivel escolar carecen de un abordaje, aunque sea tangencial, de la geometría del espacio y de la geometría proyectiva. La conferencia tiene el propósito de responder a la pregunta del título. Específicamente, se exponen algunos elementos de ambas geometrías que están estrechamente relacionados y que podrían ser involucrados en la geometría escolar (uso de propiedades básicas de la geometría proyectiva y sus duales para representar objetos del espacio en un plano –e.g., Teoremas de Desargues y de Pascal–, factores de la ubicación espacial en la representación proyectiva que pueden pasar desapercibidos en la práctica, limitaciones de las proyecciones de objetos del espacio en un plano, etc.). La exposición se canaliza mediante tareas escolares que involucran estos asuntos y que apuntan al desarrollo de habilidades relativas a la construcción y manipulación de representaciones de los objetos del espacio y a decantar algunos usos que la geometría proyectiva tiene para el arte, la programación, la cartografía y la arquitectura, principalmente. Molina, O. (2023). ¿Espacio para la geometría del espacio y proyección de la geometría proyectiva en la matemática escolar? [Ponencia]. 25º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.
Tareas de argumentación: ¿Por qué un "por qué" no es necesario ni suficiente? En el cursillo comunicamos algunos factores claves que pueden contribuir al diseño de tareas cuya intención es brindar oportunidades para la producción y explicitación de argumentos. Mediante las actividades que se propicien, pretendemos que los participantes reconozcan que tener una conceptualización especializada sobre argumento y tarea de aprendizaje es tener un referente para el diseño de tareas; el primero porque revela tipos de argumentos que se pueden contemplar como expectativa de aprendizaje; el segundo porque alude a elementos mínimos que componen el enunciado mismo de una tarea de aprendizaje. El cursillo dará elementos a los participantes para que comiencen a problematizar la necesidad y la suficiencia de la locución adverbial “por qué” en la formulación de tareas de argumentación. Vargas, C., Molina, Ó., Samper, C., Perry, P. y Camargo. L. (2022). Tareas de argumentación: ¿Por qué un "por qué" no es necesario ni suficiente? [Taller]. 25 Encuentro de geometría y sus aplicaciones, Bogotá, Colombia.
Conocimiento del profesor de geometría para diseñar y gestionar tareas de argumentación y demostración Enmarcada en el proyecto del mismo nombre, esta ponencia tiene como propósito presentar la manera en que emprendimos durante 2020 una renovación curricular en el curso Enseñanza y Aprendizaje de la Geometría del Programa de la Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional (Colombia). Para ello, describimos, con cierto detalle, el desarrollo metodológico de la propuesta, ilustrando dos de las fases del diseño curricular que estamos llevando a cabo: (i) desarrollo teórico, y (ii) diseño de tareas de formación profesional para implementar en el curso mencionado. Así mismo, presentamos resultados derivados del desarrollo de tales fases. Estos se resumen en las formulaciones de algunas de las tareas de formación profesional y en la identificación y conceptualización de elementos del conocimiento didáctico-matemático que el profesor debería movilizar al diseñar tareas que favorecen la argumentación en geometría. Molina, Ó. (2020). Conocimiento del profesor de geometría para diseñar y gestionar tareas de argumentación y demostración [Ponencia]. Semana de la investigación y la proyección social 2020, Bogotá, Colombia.
Normas que regulan el paso de la conjetura al teorema: gestión de un profesor en un curso de geometría 3D Generar, en un aula de matemáticas, ambientes que promuevan la argumentación es un reto complejo. Un profesor que disponga de conocimientos sobre maneras de suscitar un tal ambiente tiene un terreno ganado para gestionar clases de manera más idónea. Un conocimiento especializado imprescindible en una clase cuyo propósito es que la conjeturación y la justificación lleguen a ser prácticas usuales lo constituyen las formas de instalar normas; ese propósito no se logra sin la sensibilización suficiente para notar que las normas tradicionales deben cambiar. En esta ponencia se ilustra cómo un profesor alentó la instauración de normas sobre el proceso mediante el cual una “conjetura se convierte en teorema” en un curso de geometría tridimensional. El curso hacía parte de un programa para profesores de matemáticas. Analizamos episodios de diferentes sesiones de clase en los que el estudiante resolvía problemas de conjeturación y el profesor dirigía las actividades de toda la clase. Utilizamos elementos del análisis didáctico propuesto por el enfoque onto-semiótico y el modelo de Toulmin para la argumentación. Identificamos acciones y procedimientos reiterativos que implican argumentos informales (abductivos, analógicos) y que apuntan al cumplimiento de ciertas normas relativas al proceso “conjetura se convierte en teorema”. Describimos las acciones profesionales del profesor para promover tales acciones y procedimientos. Proponemos que estos aspectos formen parte del conocimiento y la competencia de índole didáctico-matemáticas que ha de tener el profesor. Molina, Ó. (2020). Normas que regulan el paso de la conjetura al teorema: gestión de un profesor en un curso de geometría 3D [Ponencia]. Séptimo Encuentro Distrital de Educación Matemática (EDEM-7), Bogotá, Colombia.
Tensiones de estudiantes y profesor que influyen en el proceso de argumentación: una tarea de geometría como contexto de estudio Se presentan tres tensiones que deben manejar estudiantes y profesores cuando abordan una tarea aparentemente sencilla y no considerada como novedosa (construir dos segmentos congruentes en un Entorno de Geometría Dinámica -EGD). Se ilustra cómo el sistema de normas permite explicar la emergencia de tales tensiones, concernientes a la comunicación de la producción, al objetivo de la tarea y a la operatividad de los objetos, y cómo las normas provocan dilemas éticos en estudiantes y profesores que influyen en la actividad argumentativa. Para soportar la idea, a la luz del Enfoque Ontosemiótico, se realiza un análisis didáctico de la actividad matemática desarrollada por un grupo de estudiantes de un curso de geometría de un programa de formación inicial de profesores de matemáticas. Molina, Ó. (2018). Tensiones de estudiantes y profesor que influyen en el proceso de argumentación: una tarea de geometría como contexto de estudio [Ponencia]. Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa (RELME 32), Medellín, Colombia.
Aproximación al conocimiento del profesor para diseñar tareas de argumentación en geometría Se presenta y discute una vía para desarrollar razonamiento científico en clase de geometría mediante tareas que promueven la construcción de significado de los objetos geométricos. La vía se ejemplifica con producciones de estudiantes de grado séptimo, que usaron la definición de punto medio producida en la clase, para justificar acciones y aserciones realizadas al solucionar problemas. Molina, Ó. (2020). Aproximación al conocimiento del profesor para diseñar tareas de argumentación en geometría [Ponencia]. Semana de investigación CIUP-UPN 2020, Bogotá, Colombia.
Razonamiento científico en clase de geometría Se presenta y discute una vía para desarrollar razonamiento científico en clase de geometría mediante tareas que promueven la construcción de significado de los objetos geométricos. La vía se ejemplifica con producciones de estudiantes de grado séptimo, que usaron la definición de punto medio producida en la clase, para justificar acciones y aserciones realizadas al solucionar problemas. Camargo, L., Perry, P. y Samper, C. (2017). Razonamiento científico en clase de geometría [Ponencia]. 23º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.
Análisis didáctico de tareas matemáticas: un ejemplo para la clase de geometría Producto de la interacción con profesores en ejercicio, hemos notado que los aspectos incluidos en el análisis, que habitualmente hacen, de tareas que proponen a los estudiantes, no proveen las herramientas requeridas para gestionarlas con miras a promover razonamiento matemático. El cursillo al que nos referimos aquí tiene como propósito identificar, por medio de un análisis didáctico, elementos que un profesor de matemáticas debe tener en cuenta para la gestión de tareas que promueven procesos de conjeturación y justificación, en una clase de geometría de cualquier nivel educativo. Molina, Ó., Plazas, T. y Samper, C. (2017). Análisis didáctico de tareas matemáticas: un ejemplo para la clase de geometría [Cursillo]. 23º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.
Geometría dinámica: la diferencia entre percibir y discernir En este documento se ilustra la diferencia entre percibir y discernir cuando se utiliza la geometría dinámica. Para esto se analiza una situación de aula en la que dos estudiantes de grado octavo disciernen las propiedades del punto medio de un segmento, cuando están resolviendo un problema en un Sistema de Geometría Dinámica (SGD). Del análisis de la situación se concluye que las representaciones que construyen los estudiantes les permiten percibir ciertas propiedades, que luego pueden discernir, especialmente cuando experimentan la variación. Reconocer cuándo el estudiante discierne propiedades y relaciones geométricas al explorar una situación representada en un SGD permite identificar cómo desarrollan significados de determinados conceptos. Sánchez, C. y Samper, C. (2017). Geometría dinámica: la diferencia entre percibir y discernir [Ponencia]. 23º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.
El proceso matemático de definir: más allá de conocer una definición En este cursillo los asistentes realizarán actividades con geometría dinámica, con el fin de establecer posibles definiciones para un objeto geométrico específico y reconocer en qué consiste el definir como proceso matemático. Se presentará una herramienta analítica que permite evidenciar cómo la actividad de definir promueve la argumentación y el comportamiento racional de estudiantes escolares. Se ilustrará su uso con un ejemplo de las interacciones de un grupo de estudiantes de décimo cuando realizaban esa actividad. Samper, C. y Vargas, C. (2017). El proceso matemático de definir: más allá de conocer una definición [Cursillo]. 23º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.
Tareas que promueven la argumentación matemática Se presenta un instrumento de análisis que ayuda a identificar los objetivos y las características de una tarea propuesta y realizada en el contexto escolar. Usando el instrumento mencionado, se da un ejemplo del análisis de una tarea que propicia el uso comprensivo de elementos geométricos teóricos y de un argumento surgido cuando unos estudiantes de grado séptimo la resolvieron. Samper, C. y Zambrano, J. (2017). Tareas que promueven la argumentación matemática [Ponencia]. 23º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.
Tareas que promueven el uso experto de un elemento teórico en la argumentación En esta ponencia se ilustra, con ejemplos, el uso experto de un elemento teórico (definición, teorema o postulado) realizado por estudiantes de grado séptimo cuando argumentan. El uso experto de un elemento teórico en la geometría escolar es saber usarlo para resolver problemas o construir justificaciones. Se reconoce que el tipo de problema está relacionado con los argumentos que se generan durante el proceso de resolución, y con el papel del profesor en clase. Samper, C. y Zambrano, J. (2017). Tareas que promueven el uso experto de un elemento teórico en la argumentación [Ponencia]. 23º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.
Tratamiento de los teoremas de existencia en un libro de geometría plana Se hace una propuesta curricular para el nivel universitario que tiene como objetivo, entre otras cosas, que los estudiantes den sentido a cuestionarse sobre la existencia de los objetos geométricos en el marco de una teoría específica, y perciban que no tiene mucho significado hablar de objetos cuya existencia no se ha justificado. En esta ponencia se expone la clasificación de los teoremas de existencia incluidos en el libro Geometría plana: un espacio de aprendizaje, desde dos perspectivas: en la primera, se mostrará la clasificación de los teoremas teniendo en cuenta su enunciado; en la segunda, la clasificación se describirá según su demostración. El libro mencionado sintetiza la propuesta de nuestro grupo. Cardozo, S., Molina, Ó. y Ortiz, A. (2015). Tratamiento de los teoremas de existencia en un libro de geometría plana[Ponencia]. 22º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.
Actividad demostrativa de estudiantes de grado octavo del Colegio Paulo VI - IED Se presentan avances de un trabajo de grado para optar al título de Maestría en Docencia de la Matemática, que tiene como propósito impulsar la actividad demostrativa de estudiantes de un colegio distrital, con el apoyo de un programa de geometría dinámica. Se expone el marco conceptual de referencia donde se definen el constructo actividad demostrativa y la argumentación. Se incluyen los elementos centrales del marco metodológico de la propuesta y un ejemplo ilustrativo del análisis realizado en el trabajo de investigación. Camargo, L. y Rodríguez, A. (2015). Actividad demostrativa de estudiantes de grado octavo del Colegio Paulo VI - IED [Ponencia]. 22º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.
Enunciado de un teorema: ¿único componente de su significado? La comunidad de educación matemática sugiere que la práctica de demostrar teoremas se favorece si las reglas lógicas y los enunciados de los elementos del sistema teórico (postulados, definiciones y teoremas) tienen significado para los estudiantes, pues así podrán hacerlos operables en la demostración. Pero, ¿qué significa entender un teorema? Se podría pensar que tal expresión se refiere a entender el enunciado y, quizá, también su demostración. Como resultado de nuestra más reciente investigación, tenemos una propuesta que amplía el mencionado significado. En este cursillo pretendemos poner a consideración un significado amplio de la expresión entender un teorema e ilustrarlo en relación con un par de teoremas de la geometría euclidiana plana. Molina, Ó., Perry, P. y Samper, C. (2015). Enunciado de un teorema: ¿único componente de su significado? [Cursillo]. 22º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.
Gestión del profesor en pro de la evolución de significados en el aula de geometría El cursillo busca sensibilizar a los profesores de matemáticas sobre la atención que se debe prestar a las intervenciones de los estudiantes en una clase que propende por la construcción social del conocimiento. La interpretación que el profesor puede hacer de las intervenciones debe generar acciones para promover la evolución de significados de los estudiantes acerca de los objetos y procesos involucrados en la clase. A través de ejemplos de interacciones en una clase de geometría euclidiana plana, de nivel universitario, ilustramos la gestión del profesor para impulsar la construcción de significado, a partir de lo que comunican los estudiantes. Camargo, L., Plazas, T., Samper, C. y Sua, C. (2015). Gestión del profesor en pro de la evolución de significados en el aula de geometría [Cursillo]. 22º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.
Aproximación temprana al razonamiento geométrico en Educación Básica En la presente conferencia presentamos una propuesta de aproximación temprana al razonamiento geométrico que busca acercar a niños de Educación Básica al mundo teórico de la geometría. La propuesta la ha venido desarrollando el equipo de investigación Aprendizaje y Enseñanza de la Geometría de la Universidad Pedagógica Nacional, en sus estudios acerca del aprendizaje de la geometría en la formación de profesores de matemáticas y en algunas tesis de maestría realizadas por profesores de matemáticas de primaria y secundaria. Camargo, L. y Samper, C. (2014). Aproximación temprana al razonamiento geométrico en Educación Básica [Ponencia]. VIII Simposio Nororiental de Matemáticas, Bucaramanga, Colombia.
Enseñanza de la geometría mediada por artefactos: teoría de la mediación semiótica Esbozamos la Teoría de la Mediación Semiótica que usamos para estudiar y comprender el papel de un profesor que decide aprovechar las características que tienen diferentes herramientas, por ejemplo los programas de geometría dinámica, usadas como mediadoras para favorecer procesos de aprendizaje, desde un punto de vista sociocultural. Camargo, L., Molina, Ó., Pérez, C., Perry, P., Plazas, T. y Samper, C. (2013). Enseñanza de la geometría mediada por artefactos: teoría de la mediación semiótica [Ponencia]. 21º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.
Problemas abiertos de conjeturación Hoy se reconoce la importancia de la resolución de problemas y el uso de nuevas tecnologías en el aprendizaje de las matemáticas. En este cursillo, los asistentes resolverán, con geometría dinámica, diferentes tipos de problemas geométricos abiertos, de conjeturación. A partir de las acciones del proceso de solución, determinaremos esquemas de utilización que permiten inferir significados personales. Así, se obtienen elementos que el profesor puede usar en clase para que los alumnos transformen sus significados en matemáticas. Camargo, L., Molina, Ó., Perry, P., Plazas, T. y Samper, C. (2013). Problemas abiertos de conjeturación [Cursillo]. 21º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.
Tensiones y negociaciones del profesor cuando instala un teorema: un ejemplo en grado noveno Se presenta un avance del trabajo de grado que desarrollo para optar por el título Maestría en docencia de la matemática. El trabajo se enfoca en la reflexión sobre mi práctica profesional vista desde la Teoría de la Racionalidad Práctica. Analizo un episodio de clase a la luz de tal teoría, apoyándome en uno de sus elementos: la situación instruccional que, para el caso, es la instalación de un teorema. Explicito las normas que de suyo surgen en una situación tal y amplío este conjunto de normas desde el análisis realizado. Molina, Ó. y Sua, C. (2013). Tensiones y negociaciones del profesor cuando instala un teorema: un ejemplo en grado noveno [Ponencia]. 21º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá. Colombia.
Las conjeturas y la construcción de conocimiento en clase de geometría En este cursillo, los asistentes tienen que resolver un problema empleando geometría dinámica. El proceso de solución y las conjeturas que propongan ambientarán la discusión sobre dos aspectos que contribuyen a la participación autónoma, relevante y genuina de los estudiantes en la construcción de conocimiento: el papel del instrumento usado para resolver el problema y la mediación semiótica del profesor. El provecho didáctico que puede sacarse de estos aspectos se fundamenta en dos marcos de referencia y se ilustra con el análisis de segmentos del proceso y de las conjeturas producidas por un grupo de estudiantes de un curso de geometría plana de la Universidad Pedagógica Nacional. Camargo, L., Echeverry, A., Molina, Ó., Perry, P. y Samper, C. (2011). Las conjeturas y la construcción de conocimiento en clase de geometría [Cursillo]. 12º Encuentro Colombiano de Matemática Educativa, Armenia, Colombia.
Enseñar definiciones o aprovecharlas para construir conceptos en geometría Este cursillo pretende suscitar la discusión entre los asistentes sobre el papel de las definiciones en el aprendizaje de la geometría y sugerir un enfoque para orientar el diseño de actividades para el aula (de primaria y secundaria) que busquen favorecer procesos de conceptualización de objetos geométricos aprovechando su definición. Camargo, L., Molina, Ó., Perry, P. y Samper, C. (2011). Enseñar definiciones o aprovecharlas para construir conceptos en geometría [Cursillo]. XXIV Coloquio Distrital de Matemáticas y Estadística, Bogotá, Colombia.
Lógica y geometría dinámica: su articulación para aprender geometría plana Este cursillo se propone sensibilizar a los asistentes con respecto al papel de la lógica matemática en el aprendizaje y la enseñanza de la demostración en geometría plana. Además de exponer y ejemplificar asuntos problemáticos en el desempeño de los estudiantes cuando construyen demostraciones, presentamos ejemplos de estrategias didácticas que pueden resultar útiles para el aprendizaje de la demostración, en las que la geometría dinámica juega un papel importante. Camargo, L., Echeverry, A., Molina, Ó., Perry, P. y Samper, C. (2011). Lógica y geometría dinámica: su articulación para aprender geometría plana [Cursillo]. 20º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.
Geometría y lineamientos curriculares: una experiencia en la formación inicial de profesores En esta ponencia compartimos una propuesta para contribuir a que las ideas expuestas en los lineamientos curriculares colombianos de 1998 tengan mayor posibilidad de convertirse en realidad. Se trata de una innovación curricular en un curso de geometría plana del programa de formación inicial de profesores de matemáticas en la Universidad Pedagógica Nacional. La propuesta se constituye en un ejemplo del esfuerzo que hemos venido haciendo los formadores de profesores para ajustar los programas de licenciatura a las exigencias que la visión de las matemáticas escolares promovida en los lineamientos le demandan al profesor. Camargo, L., Echeverry, A., Molina, Ó., Perry, P. y Samper, C. (2008). Geometría y lineamientos curriculares: una experiencia en la formación inicial de profesores [Ponencia]. 9º Encuentro Colombiano de Matemática Educativa, Valledupar, Colombia.
Dos episodios que plasman rasgos de una comunidad de práctica en la que Cabri juega un papel clave Los dos episodios de clase que se presentan y analizan en esta ponencia tuvieron lugar en un curso de geometría plana, ubicado en el segundo semestre de un programa de formación inicial de profesores de matemáticas. Son propósitos centrales del curso desarrollar competencia demostrativa y contribuir a formar en los estudiantes una concepción de la demostración según la cual ésta es una actividad distintiva del quehacer matemático que es posible y deseable llevar a cabo en cualquier curso de matemáticas. Se busca alcanzar los propósitos mencionados conformando una comunidad de práctica cuya empresa común, primero es la reconstrucción de una parte del sistema axiomático elaborado por los autores del texto que se sigue en la clase, y luego, la construcción del sistema axiomático correspondiente para el tema de los cuadriláteros. Naturalmente, el papel de la profesora del curso, en calidad de experta local, es decisivo en la conformación de la comunidad de práctica. Sin embargo, Cabri como instrumento de mediación y comunicación juega también un papel determinante en dicha conformación. Ilustrar en qué consiste ese papel es lo que nos ocupa en esta ponencia. Camargo, L., Perry, P. y Samper, C. (2006). Dos episodios que plasman rasgos de una comunidad de práctica en la que Cabri juega un papel clave [Ponencia]. III Congreso Iberoamericano de Cabri (IBEROCABRI), Bogotá, Colombia.
Diagonales con Cabri: una vía al descubrimiento de propiedades de algunos cuadriláteros El propósito del cursillo es llevar a los participantes, profesores en formación o en ejercicio, a experimentar un ambiente de aprendizaje generado por medio de una situación problema, en donde el uso de geometría dinámica, sujeto a una visión amplia de actividad demostrativa, proporciona los elementos para la construcción social de hechos geométricos relacionados con propiedades de cuadriláteros. Así, se suscita la reflexión didáctica frente a la necesidad de un cambio de concepciones, que tradicionalmente se tienen, respecto a qué es demostrar y cuál es el ambiente más favorable para propiciar su aprendizaje. Camargo, L., Perry, P. y Samper, C. (2006). Diagonales con Cabri: una vía al descubrimiento de propiedades de algunos cuadriláteros [Cursillo]. 7º Encuentro Colombiano de Matemática Educativa, Tunja, Colombia.

Diseñar tareas: oportunidad para construir conocimiento sobre argumentación matemática y estrategia en la formación de profesores

En el marco de un ciclo investigativo, iniciado en 2020 y actualmente en desarrollo, nos enfocamos en la práctica de diseñar tareas de formación profesional que apuntan a que nuestros alumnos (estudiantes para profesor de matemática) aprendan sobre argumentación matemática. Nuestra vivencia nos permitió notar la oportunidad que dicha práctica nos abrió para lograr una claridad conceptual sobre objetos que queríamos involucrar en los procesos formativos: argumento, argumentación, tarea, tarea de argumentación, elementos claves para considerar durante el diseño de este tipo de tareas, etc. En esta ponencia presentamos ejemplos de tareas de formación profesional y las razones de la necesidad de una especialización conceptual que soporte su diseño. Así mismo, con base en nuestra vivencia, sugerimos que dicha práctica puede ser una estrategia para que los estudiantes para profesor hagan ostensivo su conocimiento o construyan conocimiento especializado de un determinado contenido o proceso matemático (e.g. argumento).

Molina, Ó., Perry, P., Camargo, L. Samper, C. (2022). Diseñar tareas: oportunidad para construir conocimiento sobre argumentación matemática y estrategia en la formación de profesores [Ponencia]. Semana de investigación CIUP-UPN 2022, Bogotá, Colombia.

¿Espacio para la geometría del espacio y proyección de la geometría proyectiva en la matemática escolar?

Los currículos implementados de matemáticas a nivel escolar carecen de un abordaje, aunque sea tangencial, de la geometría del espacio y de la geometría proyectiva. La conferencia tiene el propósito de responder a la pregunta del título. Específicamente, se exponen algunos elementos de ambas geometrías que están estrechamente relacionados y que podrían ser involucrados en la geometría escolar (uso de propiedades básicas de la geometría proyectiva y sus duales para representar objetos del espacio en un plano –e.g., Teoremas de Desargues y de Pascal–, factores de la ubicación espacial en la representación proyectiva que pueden pasar desapercibidos en la práctica, limitaciones de las proyecciones de objetos del espacio en un plano, etc.). La exposición se canaliza mediante tareas escolares que involucran estos asuntos y que apuntan al desarrollo de habilidades relativas a la construcción y manipulación de representaciones de los objetos del espacio y a decantar algunos usos que la geometría proyectiva tiene para el arte, la programación, la cartografía y la arquitectura, principalmente.

Molina, O. (2023). ¿Espacio para la geometría del espacio y proyección de la geometría proyectiva en la matemática escolar? [Ponencia]. 25º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.

Tareas de argumentación: ¿Por qué un "por qué" no es necesario ni suficiente?

En el cursillo comunicamos algunos factores claves que pueden contribuir al diseño de tareas cuya intención es brindar oportunidades para la producción y explicitación de argumentos. Mediante las actividades que se propicien, pretendemos que los participantes reconozcan que tener una conceptualización especializada sobre argumento y tarea de aprendizaje es tener un referente para el diseño de tareas; el primero porque revela tipos de argumentos que se pueden contemplar como expectativa de aprendizaje; el segundo porque alude a elementos mínimos que componen el enunciado mismo de una tarea de aprendizaje. El cursillo dará elementos a los participantes para que comiencen a problematizar la necesidad y la suficiencia de la locución adverbial “por qué” en la formulación de tareas de argumentación.

Vargas, C., Molina, Ó., Samper, C., Perry, P. y Camargo. L. (2022). Tareas de argumentación: ¿Por qué un "por qué" no es necesario ni suficiente? [Taller]. 25 Encuentro de geometría y sus aplicaciones, Bogotá, Colombia.

Conocimiento del profesor de geometría para diseñar y gestionar tareas de argumentación y demostración

Enmarcada en el proyecto del mismo nombre, esta ponencia tiene como propósito presentar la manera en que emprendimos durante 2020 una renovación curricular en el curso Enseñanza y Aprendizaje de la Geometría del Programa de la Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional (Colombia). Para ello, describimos, con cierto detalle, el desarrollo metodológico de la propuesta, ilustrando dos de las fases del diseño curricular que estamos llevando a cabo: (i) desarrollo teórico, y (ii) diseño de tareas de formación profesional para implementar en el curso mencionado. Así mismo, presentamos resultados derivados del desarrollo de tales fases. Estos se resumen en las formulaciones de algunas de las tareas de formación profesional y en la identificación y conceptualización de elementos del conocimiento didáctico-matemático que el profesor debería movilizar al diseñar tareas que favorecen la argumentación en geometría.

Molina, Ó. (2020). Conocimiento del profesor de geometría para diseñar y gestionar tareas de argumentación y demostración [Ponencia]. Semana de la investigación y la proyección social 2020, Bogotá, Colombia.

Normas que regulan el paso de la conjetura al teorema: gestión de un profesor en un curso de geometría 3D

Generar, en un aula de matemáticas, ambientes que promuevan la argumentación es un reto complejo. Un profesor que disponga de conocimientos sobre maneras de suscitar un tal ambiente tiene un terreno ganado para gestionar clases de manera más idónea. Un conocimiento especializado imprescindible en una clase cuyo propósito es que la conjeturación y la justificación lleguen a ser prácticas usuales lo constituyen las formas de instalar normas; ese propósito no se logra sin la sensibilización suficiente para notar que las normas tradicionales deben cambiar. En esta ponencia se ilustra cómo un profesor alentó la instauración de normas sobre el proceso mediante el cual una “conjetura se convierte en teorema” en un curso de geometría tridimensional. El curso hacía parte de un programa para profesores de matemáticas. Analizamos episodios de diferentes sesiones de clase en los que el estudiante resolvía problemas de conjeturación y el profesor dirigía las actividades de toda la clase. Utilizamos elementos del análisis didáctico propuesto por el enfoque onto-semiótico y el modelo de Toulmin para la argumentación. Identificamos acciones y procedimientos reiterativos que implican argumentos informales (abductivos, analógicos) y que apuntan al cumplimiento de ciertas normas relativas al proceso “conjetura se convierte en teorema”. Describimos las acciones profesionales del profesor para promover tales acciones y procedimientos. Proponemos que estos aspectos formen parte del conocimiento y la competencia de índole didáctico-matemáticas que ha de tener el profesor.

Molina, Ó. (2020). Normas que regulan el paso de la conjetura al teorema: gestión de un profesor en un curso de geometría 3D [Ponencia]. Séptimo Encuentro Distrital de Educación Matemática (EDEM-7), Bogotá, Colombia.

Tensiones de estudiantes y profesor que influyen en el proceso de argumentación: una tarea de geometría como contexto de estudio

Se presentan tres tensiones que deben manejar estudiantes y profesores cuando abordan una tarea aparentemente sencilla y no considerada como novedosa (construir dos segmentos congruentes en un Entorno de Geometría Dinámica -EGD). Se ilustra cómo el sistema de normas permite explicar la emergencia de tales tensiones, concernientes a la comunicación de la producción, al objetivo de la tarea y a la operatividad de los objetos, y cómo las normas provocan dilemas éticos en estudiantes y profesores que influyen en la actividad argumentativa. Para soportar la idea, a la luz del Enfoque Ontosemiótico, se realiza un análisis didáctico de la actividad matemática desarrollada por un grupo de estudiantes de un curso de geometría de un programa de formación inicial de profesores de matemáticas.

Molina, Ó. (2018). Tensiones de estudiantes y profesor que influyen en el proceso de argumentación: una tarea de geometría como contexto de estudio [Ponencia]. Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa (RELME 32), Medellín, Colombia.

Aproximación al conocimiento del profesor para diseñar tareas de argumentación en geometría

Se presenta y discute una vía para desarrollar razonamiento científico en clase de geometría mediante tareas que promueven la construcción de significado de los objetos geométricos. La vía se ejemplifica con producciones de estudiantes de grado séptimo, que usaron la definición de punto medio producida en la clase, para justificar acciones y aserciones realizadas al solucionar problemas.

Molina, Ó. (2020). Aproximación al conocimiento del profesor para diseñar tareas de argumentación en geometría [Ponencia]. Semana de investigación CIUP-UPN 2020, Bogotá, Colombia.

Razonamiento científico en clase de geometría

Camargo, L., Perry, P. y Samper, C. (2017). Razonamiento científico en clase de geometría [Ponencia]. 23º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.

Análisis didáctico de tareas matemáticas: un ejemplo para la clase de geometría

Producto de la interacción con profesores en ejercicio, hemos notado que los aspectos incluidos en el análisis, que habitualmente hacen, de tareas que proponen a los estudiantes, no proveen las herramientas requeridas para gestionarlas con miras a promover razonamiento matemático. El cursillo al que nos referimos aquí tiene como propósito identificar, por medio de un análisis didáctico, elementos que un profesor de matemáticas debe tener en cuenta para la gestión de tareas que promueven procesos de conjeturación y justificación, en una clase de geometría de cualquier nivel educativo.

Molina, Ó., Plazas, T. y Samper, C. (2017). Análisis didáctico de tareas matemáticas: un ejemplo para la clase de geometría [Cursillo]. 23º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.

Geometría dinámica: la diferencia entre percibir y discernir

En este documento se ilustra la diferencia entre percibir y discernir cuando se utiliza la geometría dinámica. Para esto se analiza una situación de aula en la que dos estudiantes de grado octavo disciernen las propiedades del punto medio de un segmento, cuando están resolviendo un problema en un Sistema de Geometría Dinámica (SGD). Del análisis de la situación se concluye que las representaciones que construyen los estudiantes les permiten percibir ciertas propiedades, que luego pueden discernir, especialmente cuando experimentan la variación. Reconocer cuándo el estudiante discierne propiedades y relaciones geométricas al explorar una situación representada en un SGD permite identificar cómo desarrollan significados de determinados conceptos.

Sánchez, C. y Samper, C. (2017). Geometría dinámica: la diferencia entre percibir y discernir [Ponencia]. 23º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.

El proceso matemático de definir: más allá de conocer una definición

En este cursillo los asistentes realizarán actividades con geometría dinámica, con el fin de establecer posibles definiciones para un objeto geométrico específico y reconocer en qué consiste el definir como proceso matemático. Se presentará una herramienta analítica que permite evidenciar cómo la actividad de definir promueve la argumentación y el comportamiento racional de estudiantes escolares. Se ilustrará su uso con un ejemplo de las interacciones de un grupo de estudiantes de décimo cuando realizaban esa actividad.

Samper, C. y Vargas, C. (2017). El proceso matemático de definir: más allá de conocer una definición [Cursillo]. 23º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.

Tareas que promueven la argumentación matemática

Se presenta un instrumento de análisis que ayuda a identificar los objetivos y las características de una tarea propuesta y realizada en el contexto escolar. Usando el instrumento mencionado, se da un ejemplo del análisis de una tarea que propicia el uso comprensivo de elementos geométricos teóricos y de un argumento surgido cuando unos estudiantes de grado séptimo la resolvieron.

Samper, C. y Zambrano, J. (2017). Tareas que promueven la argumentación matemática [Ponencia]. 23º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.

Tareas que promueven el uso experto de un elemento teórico en la argumentación

En esta ponencia se ilustra, con ejemplos, el uso experto de un elemento teórico (definición, teorema o postulado) realizado por estudiantes de grado séptimo cuando argumentan. El uso experto de un elemento teórico en la geometría escolar es saber usarlo para resolver problemas o construir justificaciones. Se reconoce que el tipo de problema está relacionado con los argumentos que se generan durante el proceso de resolución, y con el papel del profesor en clase.

Samper, C. y Zambrano, J. (2017). Tareas que promueven el uso experto de un elemento teórico en la argumentación [Ponencia]. 23º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.

Tratamiento de los teoremas de existencia en un libro de geometría plana

Se hace una propuesta curricular para el nivel universitario que tiene como objetivo, entre otras cosas, que los estudiantes den sentido a cuestionarse sobre la existencia de los objetos geométricos en el marco de una teoría específica, y perciban que no tiene mucho significado hablar de objetos cuya existencia no se ha justificado. En esta ponencia se expone la clasificación de los teoremas de existencia incluidos en el libro Geometría plana: un espacio de aprendizaje, desde dos perspectivas: en la primera, se mostrará la clasificación de los teoremas teniendo en cuenta su enunciado; en la segunda, la clasificación se describirá según su demostración. El libro mencionado sintetiza la propuesta de nuestro grupo.

Cardozo, S., Molina, Ó. y Ortiz, A. (2015). Tratamiento de los teoremas de existencia en un libro de geometría plana[Ponencia]. 22º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.

Actividad demostrativa de estudiantes de grado octavo del Colegio Paulo VI - IED

Se presentan avances de un trabajo de grado para optar al título de Maestría en Docencia de la Matemática, que tiene como propósito impulsar la actividad demostrativa de estudiantes de un colegio distrital, con el apoyo de un programa de geometría dinámica. Se expone el marco conceptual de referencia donde se definen el constructo actividad demostrativa y la argumentación. Se incluyen los elementos centrales del marco metodológico de la propuesta y un ejemplo ilustrativo del análisis realizado en el trabajo de investigación.

Camargo, L. y Rodríguez, A. (2015). Actividad demostrativa de estudiantes de grado octavo del Colegio Paulo VI - IED [Ponencia]. 22º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.

Enunciado de un teorema: ¿único componente de su significado?

La comunidad de educación matemática sugiere que la práctica de demostrar teoremas se favorece si las reglas lógicas y los enunciados de los elementos del sistema teórico (postulados, definiciones y teoremas) tienen significado para los estudiantes, pues así podrán hacerlos operables en la demostración. Pero, ¿qué significa entender un teorema? Se podría pensar que tal expresión se refiere a entender el enunciado y, quizá, también su demostración. Como resultado de nuestra más reciente investigación, tenemos una propuesta que amplía el mencionado significado. En este cursillo pretendemos poner a consideración un significado amplio de la expresión entender un teorema e ilustrarlo en relación con un par de teoremas de la geometría euclidiana plana.

Molina, Ó., Perry, P. y Samper, C. (2015). Enunciado de un teorema: ¿único componente de su significado? [Cursillo]. 22º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.

Gestión del profesor en pro de la evolución de significados en el aula de geometría

El cursillo busca sensibilizar a los profesores de matemáticas sobre la atención que se debe prestar a las intervenciones de los estudiantes en una clase que propende por la construcción social del conocimiento. La interpretación que el profesor puede hacer de las intervenciones debe generar acciones para promover la evolución de significados de los estudiantes acerca de los objetos y procesos involucrados en la clase. A través de ejemplos de interacciones en una clase de geometría euclidiana plana, de nivel universitario, ilustramos la gestión del profesor para impulsar la construcción de significado, a partir de lo que comunican los estudiantes.

Camargo, L., Plazas, T., Samper, C. y Sua, C. (2015). Gestión del profesor en pro de la evolución de significados en el aula de geometría [Cursillo]. 22º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.

Aproximación temprana al razonamiento geométrico en Educación Básica

En la presente conferencia presentamos una propuesta de aproximación temprana al razonamiento geométrico que busca acercar a niños de Educación Básica al mundo teórico de la geometría. La propuesta la ha venido desarrollando el equipo de investigación Aprendizaje y Enseñanza de la Geometría de la Universidad Pedagógica Nacional, en sus estudios acerca del aprendizaje de la geometría en la formación de profesores de matemáticas y en algunas tesis de maestría realizadas por profesores de matemáticas de primaria y secundaria.

Camargo, L. y Samper, C. (2014). Aproximación temprana al razonamiento geométrico en Educación Básica [Ponencia]. VIII Simposio Nororiental de Matemáticas, Bucaramanga, Colombia.

Enseñanza de la geometría mediada por artefactos: teoría de la mediación semiótica

Esbozamos la Teoría de la Mediación Semiótica que usamos para estudiar y comprender el papel de un profesor que decide aprovechar las características que tienen diferentes herramientas, por ejemplo los programas de geometría dinámica, usadas como mediadoras para favorecer procesos de aprendizaje, desde un punto de vista sociocultural.

Camargo, L., Molina, Ó., Pérez, C., Perry, P., Plazas, T. y Samper, C. (2013). Enseñanza de la geometría mediada por artefactos: teoría de la mediación semiótica [Ponencia]. 21º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.

Problemas abiertos de conjeturación

Hoy se reconoce la importancia de la resolución de problemas y el uso de nuevas tecnologías en el aprendizaje de las matemáticas. En este cursillo, los asistentes resolverán, con geometría dinámica, diferentes tipos de problemas geométricos abiertos, de conjeturación. A partir de las acciones del proceso de solución, determinaremos esquemas de utilización que permiten inferir significados personales. Así, se obtienen elementos que el profesor puede usar en clase para que los alumnos transformen sus significados en matemáticas.

Camargo, L., Molina, Ó., Perry, P., Plazas, T. y Samper, C. (2013). Problemas abiertos de conjeturación [Cursillo]. 21º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.

Tensiones y negociaciones del profesor cuando instala un teorema: un ejemplo en grado noveno

Se presenta un avance del trabajo de grado que desarrollo para optar por el título Maestría en docencia de la matemática. El trabajo se enfoca en la reflexión sobre mi práctica profesional vista desde la Teoría de la Racionalidad Práctica. Analizo un episodio de clase a la luz de tal teoría, apoyándome en uno de sus elementos: la situación instruccional que, para el caso, es la instalación de un teorema. Explicito las normas que de suyo surgen en una situación tal y amplío este conjunto de normas desde el análisis realizado.

Molina, Ó. y Sua, C. (2013). Tensiones y negociaciones del profesor cuando instala un teorema: un ejemplo en grado noveno [Ponencia]. 21º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá. Colombia.

Las conjeturas y la construcción de conocimiento en clase de geometría

En este cursillo, los asistentes tienen que resolver un problema empleando geometría dinámica. El proceso de solución y las conjeturas que propongan ambientarán la discusión sobre dos aspectos que contribuyen a la participación autónoma, relevante y genuina de los estudiantes en la construcción de conocimiento: el papel del instrumento usado para resolver el problema y la mediación semiótica del profesor. El provecho didáctico que puede sacarse de estos aspectos se fundamenta en dos marcos de referencia y se ilustra con el análisis de segmentos del proceso y de las conjeturas producidas por un grupo de estudiantes de un curso de geometría plana de la Universidad Pedagógica Nacional.

Camargo, L., Echeverry, A., Molina, Ó., Perry, P. y Samper, C. (2011). Las conjeturas y la construcción de conocimiento en clase de geometría [Cursillo]. 12º Encuentro Colombiano de Matemática Educativa, Armenia, Colombia.

Enseñar definiciones o aprovecharlas para construir conceptos en geometría

Este cursillo pretende suscitar la discusión entre los asistentes sobre el papel de las definiciones en el aprendizaje de la geometría y sugerir un enfoque para orientar el diseño de actividades para el aula (de primaria y secundaria) que busquen favorecer procesos de conceptualización de objetos geométricos aprovechando su definición.

Camargo, L., Molina, Ó., Perry, P. y Samper, C. (2011). Enseñar definiciones o aprovecharlas para construir conceptos en geometría [Cursillo]. XXIV Coloquio Distrital de Matemáticas y Estadística, Bogotá, Colombia.

Lógica y geometría dinámica: su articulación para aprender geometría plana

Este cursillo se propone sensibilizar a los asistentes con respecto al papel de la lógica matemática en el aprendizaje y la enseñanza de la demostración en geometría plana. Además de exponer y ejemplificar asuntos problemáticos en el desempeño de los estudiantes cuando construyen demostraciones, presentamos ejemplos de estrategias didácticas que pueden resultar útiles para el aprendizaje de la demostración, en las que la geometría dinámica juega un papel importante.

Camargo, L., Echeverry, A., Molina, Ó., Perry, P. y Samper, C. (2011). Lógica y geometría dinámica: su articulación para aprender geometría plana [Cursillo]. 20º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, Bogotá, Colombia.

Geometría y lineamientos curriculares: una experiencia en la formación inicial de profesores

En esta ponencia compartimos una propuesta para contribuir a que las ideas expuestas en los lineamientos curriculares colombianos de 1998 tengan mayor posibilidad de convertirse en realidad. Se trata de una innovación curricular en un curso de geometría plana del programa de formación inicial de profesores de matemáticas en la Universidad Pedagógica Nacional. La propuesta se constituye en un ejemplo del esfuerzo que hemos venido haciendo los formadores de profesores para ajustar los programas de licenciatura a las exigencias que la visión de las matemáticas escolares promovida en los lineamientos le demandan al profesor.

Camargo, L., Echeverry, A., Molina, Ó., Perry, P. y Samper, C. (2008). Geometría y lineamientos curriculares: una experiencia en la formación inicial de profesores [Ponencia]. 9º Encuentro Colombiano de Matemática Educativa, Valledupar, Colombia.

Dos episodios que plasman rasgos de una comunidad de práctica en la que Cabri juega un papel clave

Los dos episodios de clase que se presentan y analizan en esta ponencia tuvieron lugar en un curso de geometría plana, ubicado en el segundo semestre de un programa de formación inicial de profesores de matemáticas. Son propósitos centrales del curso desarrollar competencia demostrativa y contribuir a formar en los estudiantes una concepción de la demostración según la cual ésta es una actividad distintiva del quehacer matemático que es posible y deseable llevar a cabo en cualquier curso de matemáticas. Se busca alcanzar los propósitos mencionados conformando una comunidad de práctica cuya empresa común, primero es la reconstrucción de una parte del sistema axiomático elaborado por los autores del texto que se sigue en la clase, y luego, la construcción del sistema axiomático correspondiente para el tema de los cuadriláteros. Naturalmente, el papel de la profesora del curso, en calidad de experta local, es decisivo en la conformación de la comunidad de práctica. Sin embargo, Cabri como instrumento de mediación y comunicación juega también un papel determinante en dicha conformación. Ilustrar en qué consiste ese papel es lo que nos ocupa en esta ponencia.

Camargo, L., Perry, P. y Samper, C. (2006). Dos episodios que plasman rasgos de una comunidad de práctica en la que Cabri juega un papel clave [Ponencia]. III Congreso Iberoamericano de Cabri (IBEROCABRI), Bogotá, Colombia.

Diagonales con Cabri: una vía al descubrimiento de propiedades de algunos cuadriláteros

El propósito del cursillo es llevar a los participantes, profesores en formación o en ejercicio, a experimentar un ambiente de aprendizaje generado por medio de una situación problema, en donde el uso de geometría dinámica, sujeto a una visión amplia de actividad demostrativa, proporciona los elementos para la construcción social de hechos geométricos relacionados con propiedades de cuadriláteros. Así, se suscita la reflexión didáctica frente a la necesidad de un cambio de concepciones, que tradicionalmente se tienen, respecto a qué es demostrar y cuál es el ambiente más favorable para propiciar su aprendizaje.

Camargo, L., Perry, P. y Samper, C. (2006). Diagonales con Cabri: una vía al descubrimiento de propiedades de algunos cuadriláteros [Cursillo]. 7º Encuentro Colombiano de Matemática Educativa, Tunja, Colombia.

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