Licenciatura en Matemáticas

Trabajos de grado Licenciatura en Matemáticas

Estudio de algunas representaciones de expresiones en
un plano al que se le asigna una escala alternativa a la usual


El presente trabajo expone un estudio de objetos geométricos cuando se usa un plano al cual se le asigna un sistema coordenado diferente al sistema cartesiano usual. Específicamente, el sistema alternativo consiste en hacer un cambio en la escala del Eje Y (dejando el Eje X igual al sistema usual), con la intención de que la representación gráfica de la expresión h(x)=√x se visualice como una recta; denominamos a tal sistema alternativo "sistema de escala semirradical". Naturalmente, este sistema coordenado alternativo genera cambios en la representación de otros objetos. Con el estudio nos abocamos a determinar variaciones que se perciben al usar la escala semirradical, de objetos como: la distancia euclidiana usual, rectas definidas a partir de la representación algebraica usual (rectas analíticas), ángulos entre rectas analíticas, perpendicularidad entre rectas analíticas, triángulos, y representación gráfica de curvas cónicas.


Muñoz, S. (2020). Estudio de algunas representaciones de expresiones en un plano al que se le asigna una escala alternativa a la usual (tesis de pregrado dirigida por Óscar Molina). Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia.

Implementación del software educativo GAnalitica3D para
potenciar la visualización en geometría analítica tridimensional 


Esta propuesta de trabajo de grado se presenta como una ayuda didáctica para el profesor de matemáticas de educación media o universitaria. Se compone de tres partes: (1) la teoría en la que se aborda el estudio matemático de las superficies cuadráticas, (2) la teoría didáctica, que incluye una propuesta de habilidades de visualización enfocadas a la 3D y (3) el diseño y la propuesta de cinco secuencias de tareas, diseñadas según el marco de Gómez, Mora y Velasco (2018) para desarrollar con los softwares GAnalitica3D y GeoGebra. El objetivo es introducir las superficies cuadráticas y desarrollar habilidades de visualización por medio de cambios de registro, es decir, de la representación algebraica a la gráfica y viceversa; en un sentido análogo al propuesto por Mason (1987) en el que asocia símbolos con representaciones.


Bohórquez, M. (2020). Implementación del software educativo GAnalitica3D para potenciar la visualización en geometría analítica tridimensional (tesis de pregrado dirigida por Óscar Molina). Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia.

Articulación entre la geometría analítica y la geometría sintética
en la secundaria: un ejemplo desde la resolución de problemas


Desde un punto de vista curricular (planeado o implementado) se evidencia una desarticulación en el estudio de la geometría sintética (también llamada pura o clásica) y la geometría analítica. En este trabajo se aborda dicha problemática, proponiendo dos grandes secuencias de tareas que intentan poner en juego y favorecer una articulación entre la geometría sintética y la geometría analítica. Para cada una de las secuencias diseñadas se realiza una descripción (o análisis didáctico a priori). Los contenidos sobre los que versan las secuencias se centran en la construcción de una recta tangente a curvas cónicas (primera gran secuencia), y en la construcción de un triángulo con condiciones dadas (segunda gran secuencia). En ese marco, se precisa cómo los métodos de análisis y síntesis, propuestos por Descartes, están presentes en ambas geometrías, y cómo, dependiendo del abordaje de alguna tarea, se evidencia una complementación de la síntesis mediante el análisis o viceversa.


Barrera, J. (2020). Articulación entre la geometría analítica y la geometría sintética en la secundaria: un ejemplo desde la resolución de problemas (tesis de pregrado dirigida por Óscar Molina). Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia.

Construcción de una trayectoria hipotética de aprendizaje
en torno al proceso de generalización geométrica


Se propone una trayectoria hipotética de aprendizaje (THA) sobre el proceso de generalización geométrica para que estudiantes de 10 a 13 años descubran una propiedad de una figura geométrica.


Bocanegra, I. y Devia, A.  (2019). Construcción de una trayectoria hipotética de aprendizaje en torno al proceso de generalización geométrica (tesis de pregrado dirigida por Leonor Camargo). Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia.

Geometría y dimensión: representación y
caracterización de objetos 2D, 3D y 4D


Inicialmente se hace un planteamiento a la idea intuitiva de dimensión a partir de tres interpretaciones: dimensión ambiental, dimensión intrínseca y dimensión en la representación. Luego, se describen algunos intentos de matematizar el concepto de dimensión, dilucidando en ellos alguna de las interpretaciones propuestas. Por último, se abordan aproximaciones formales a la dimensión según tres enfoques matemáticos: algébrico, topológico y de geometría fractal.


Castiblanco, S. y Montana, M.  (2018). Geometría y dimensión: representación y caracterización de objetos 2D, 3D y 4D (tesis de pregrado dirigida por Leonor Camargo). Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia.

Actividad demostrativa y tipos de argumentos en grado décimo


Se presenta un estudio realizado con estudiantes de grado decimo de la institución educativa distrital Centro Integral José María Córdoba, en el segundo semestre de 2014. El estudio tiene como propósito elaborar, implementar y evaluar una propuesta metodológica para la enseñanza de la actividad demostrativa, constructo teórico propuesto por el grupo Aprendizaje y Enseñanza de la Geometría de la Universidad Pedagógica Nacional (Colombia). Dicha propuesta fue evaluada con base en un grupo de categorías que pretenden describir cada uno de los procesos de la actividad demostrativa.  Para analizar la producción de argumentos de los estudiantes se propusieron categorías que utilizan como herramienta fundamental el modelo propuesto por Tolumin para el análisis de la argumentación. Dichas categorías se basan en la descripción de los argumentos en términos de abductivos, inductivos y deductivos realizada por el grupo Aprendizaje y Enseñanza de la Geometría (Samper, Molina, Perry y Camargo , 2013) y en la tipificación propuesta por Fiallo (2010) en su tesis doctoral.


Vargas, R.  (2016). Actividad demostrativa y tipos de argumentos en grado décimo (tesis de pregrado dirigida por Óscar Molina). Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia.

De lo sustancial a lo analítico: un análisis de
los argumentos en la clase de geometría


Se presenta un estudio realizado con 70 estudiantes de grados séptimo y octavo en la IED Hunza durante 2014. El propósito del estudio es desarrollar y analizar las prácticas argumentativas que producen estudiantes de educación básica en la clase de geometría, en el marco de la actividad demostrativa. El desarrollo del estudio se fundamenta involucrando autores como: Toulmin (2007) en relación al análisis y funcionalidad de los argumentos, Camargo, Molina, Perry y Samper (2014) respecto a la actividad demostrativa y a Krummheuer (1995) sobre la argumentación en el aula como fenómeno social. Se estableció y adaptó la secuencia a trabajar en el aula, luego se aplicó y finalmente, de acuerdo con determinadas categorías, se analizó la información obtenida respecto a los argumentos construidos por los estudiantes y se propusieron las conclusiones del estudio realizado.


Gómez, M.  (2016). De lo sustancial a lo analítico: un análisis de los argumentos en la clase de geometría (tesis de pregrado dirigida por Camilo Sua). Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia.

Representación gráfica adecuada de
una figura geométrica en primaria


Se presenta una investigación en primaria de un colegio distrital en el segundo semestre de 2013. El propósito de esta investigación consistió en sugerir una vía que contribuyera al establecimiento de aspectos normativos que generaran compartir un criterio sobre lo que se considera una representación gráfica adecuada de una figura geométrica. Al disponer de referentes teóricos sobre normas sociomatemáticas (Yackel y Coob, 1996), figura geométrica y sus representaciones (Laborde, 1995), y constitución colectiva de un criterio, se muestra que es posible establecer colectivamente un criterio sobre una representación adecuada de una figura geométrica, en particular triángulos isósceles y equiláteros, utilizando una convención que haga referencia a la propiedad de congruencia de lados en dichos triángulos. Esta investigación se desarrolló en cuatro momentos: en el primero se elaboró un marco de referencia acorde a lo presupuestado; en el segundo, se planeó un experimento de enseñanza, en el tercero se llevó a cabo la ejecución del experimento y se recolectaron datos; y finalmente se organizaron y analizaron los datos con la ayuda del programa Atlas.ti.


Cañón, M. y Rozo, L.  (2016). Representación gráfica adecuada de una figura geométrica en primaria (tesis de pregrado dirigida por Leonor Camargo). Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia.

Concepciones sobre el proceso de estimación
de medidas de futuros docentes de matemáticas


Se realiza un estudio sobre las concepciones de estimación de medida de futuros maestros de matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional. Además, se reflexiona acerca de la necesidad de fundamentar tal concepción en estudios que han realizado, dejando de lado la concepción espontánea que tengan los futuros maestros sobre este proceso, la cual influye en su enseñanza. Para ello, se construyó una definición de estimación de medida a partir de las definiciones encontradas de documentos y clasificarlas de acuerdo a las características generales. Se prosiguió haciendo un comentario crítico a los documentos curriculares nacionales, para mostrar las coherencias e incoherencias que tienen estos textos al considerar la estimación como parte esencial de la enseñanza de las matemáticas. Luego, del curso Enseñanza y Aprendizaje de la Geometría, participaron 22 maestros en formación en el estudio empírico, para determinar cuál era su concepción de estimación de medidas. Se concluye que la concepción de los maestros de este proceso  es pobre en sentido y significado por las pocas características de la estimación que develan en sus definiciones, juicios y actividades de estimación de medida que proponen.


Jiménez, D. y Melo, D.  (2015). Concepciones sobre el proceso de estimación de medidas de futuros docentes de matemáticas. (tesis de pregrado dirigida por Leonor Camargo). Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia.

La actividad demostrativa de estudiantes
de grado octavo del Colegio Paulo VI-IED


Trabajo de grado en el que se presenta un proceso de investigación con estudiantes de grado octavo del Colegio Paulo VI-IED, realizado durante el primer semestre de 2014. El trabajo se basó en el diseño, experimentación y evaluación de una intervención de enseñanza mediada por el programa Cabri, de geometría dinámica. Su propósito consistió en promover la actividad demostrativa como fuente de procesos de argumentación en geometría. El fundamento teórico de la propuesta se apoyó en el trabajo desarrollado por el grupo Aprendizaje y Enseñanza de la Geometría, en relación con el constructo actividad demostrativa, los aportes de Krummheuer sobre argumentación y de Arzarello, Paola y Robutti, y de Mariotti sobre geometría dinámica. El trabajo se basa en la aplicación de una secuencia de nueve problemas y el registro de la información tomado de las sesiones. Las transcripciones de estas corresponden al análisis que aparece en el presente trabajo.


Rodríguez, A.  (2015). La actividad demostrativa de estudiantes de grado octavo del Colegio Paulo VI-IED (tesis de pregrado dirigida por Leonor Camargo). Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia.

Ambiente indagativo y argumentación en un contexto
de geometría dinámica: una experiencia en grado séptimo


Se presentan resultados de  un experimento de enseñanza que pretendía promover la configuración de un ambiente indagativo en la clase de geometría en un curso de grado séptimo del colegio Álvaro Gómez Hurtado IED, institución pública de Bogotá (Colombia). Para lograr esto, se establecieron ciertas condiciones que favorecerían la configuración del ambiente indagativo como lo fueron la argumentación en el contexto de la actividad demostrativa, la geometría dinámica y la gestión del profesor. En esencia, la propuesta que se presenta muestra cómo se promovió un cambio en la cultura de la clase de geometría, en la que se favoreció el protagonismo de los estudiantes en la clase a través de prácticas que impulsaran la expresión de sus ideas, la argumentación mediante la alusión a hechos geométricos y la resolución de problemas de descubrimiento con un programa de geometría dinámica.


Puentes, J.  (2015). Ambiente indagativo y argumentación en un contexto de geometría dinámica: una experiencia en grado séptimo (tesis de pregrado dirigida por Leonor Camargo). Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia.

Argumentación de estudiantes de ciclo IV
apoyada en un software de geometría dinámica


Se informa sobre un proyecto de investigación que pretendía promover cambios en la clase de geometría, en particular fomentar la argumentación y la construcción social del conocimiento. Se partió de un diagnóstico sobre el poco uso de la tecnología informática y sobre una enseñanza memorística de la geometría en los colegios Cristóbal Colón y Montebello, instituciones públicas de Bogotá, (Colombia). En el documento se reporta el análisis realizado sobre la  posibilidad de llevar a cabo un cambio en  la clase de geometría, para favorecer prácticas argumentativas con el apoyo de un programa de geometría dinámica. El marco teórico fundamenta los análisis con los cuales se estudiaron dos componentes centrales de tal cambio: la actividad que llevan a cabo los estudiantes y las prácticas argumentativas en la clase.


Bacares, J. y Cruz, M.  (2015). Argumentación de estudiantes de ciclo IV apoyada en un software de geometría dinámica (tesis de pregrado dirigida por Leonor Camargo). Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia.

Análisis del proceso de construcción colectiva de demostraciones


Se analiza el proceso de construcción colectiva de las demostraciones en el curso Geometría Plana de la Universidad Pedagógica Nacional, a partir de la mediación semiótica que realiza el profesor con las ideas expuestas por los estudiantes. Inicialmente se desarrolló el análisis de la mediación semiótica de la profesora en torno a las conjeturas que los estudiantes propusieron como respuesta a un problema que apunta al establecimiento del Teorema del Ángulo Externo. Luego, se analizó la mediación semiótica cuando se construyeron las demostraciones de dos teoremas con las categorías creadas por el grupo de investigación Aprendizaje y Enseñanza de la Geometría. Una de sus principales conclusiones fue que en la construcción de las demostraciones de los teoremas, se evidenció que hubo interacción tanto de profesor-estudiante como de estudiante-estudiante, convirtiendo ese proceso en una acción colaborativa de la comunidad de clase.


Castellanos, G. y Arias, N. (2013). Análisis del proceso de construcción colectiva de demostraciones (tesis de pregrado dirigida por Carmen Samper). Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia.

¿Pantógrafo o Cabri? Artefactos para la conceptualización


Se estudia el comportamiento de dos estudiantes de grado noveno con el uso de un pantógrafo y un programa de geometría dinámica para apoyar el proceso de conceptualización de un concepto geométrico: la semejanza. Se presenta el análisis de las interacciones entre las estudiantes al momento de desarrollar las actividades propuestas, para determinar el aporte del uso de cada artefacto en la formación del concepto. Tal análisis se realizó a través de diferentes etapas, determinando cuatro categorías de análisis, con sus posibles procesos. En las conclusiones se presenta un cuadro comparativo entre los dos artefactos, donde se destaca la pertinencia de su utilización durante las diferentes fases de las actividades, mostrando como resultado un proceso de conceptualización mediado por la visualización e instrumentalización.


González, J. y Maestre, W. (2012). ¿Pantógrafo o Cabri? Artefactos para la conceptualización (tesis de pregrado dirigida por Carmen Samper). Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia.